Mariola prawdę Ci powie, czyli pojedynek na procenty

Pomnażanie pieniędzy nie dość, że samo w sobie nie jest zbyt popularną czynnością, to jeszcze operację tą dodatkowo utrudniają same instytucje finansowe. I nie chodzi mi tutaj o oferowanie przez nie skomplikowanych instrumentów finansowych, ale o niezbyt „dokładne” informowanie klienta o osiąganych przez te produkty stopach zwrotu. Już tłumaczę o co mi chodzi…

Do napisania tego wpisu zainspirowała mnie moja ostatnia rozmowa z doradcą bankowym kiedy to zakładałem lokatę bankową dla mojej babci. Owa osoba (pani Mariola) usilnie próbowała mnie namówić do tego abym zamiast tradycyjnego depozytu bankowego ulokował pieniądze mojej kochanej seniorki w „bezpiecznych” funduszach inwestycyjnych.

Kartą przetargową owej Pani było powoływanie się na historyczne stopy zwrotu osiągane przez prezentowany przez nią produkt. W sumie nic w tym dziwnego, gdyż większość doradców w ten właśnie sposób „sprzedaje” fundusze. Ale o nie tym chciałem mówić…

Podczas naszej rozmowy pani Mariola nieopatrznie powiedziała zdanie, które mnie zainspirowało do napisania tego tekstu: „Niech pan spojrzy – w ostatnich trzech latach ten fundusz zarobił aż 15 proc., to przecież 5 proc. rocznie, czyli więcej niż na najlepszych lokatach”. I właśnie przez te słowa nie dość, że straciłem nieco zaufania do obsługującej mnie kobiety (nie umie procentów), to wpadłem na pomysł opisania tego przypadku.

Co w tym stwierdzeniu jest nie tak?

Ano to, że wyrażenie 15 procent zysku w trzy lata - to nie to samo co 3 x 5 procent w skali roku. Aby dobrze zrozumieć ten problem należy zapoznać się ze wzorem na przyszłą wartość pieniądza, który wygląda tak:

FV = PV * (1 + r/m)^nm

gdzie:

FV – wartość przyszła pieniądza

PV – wartość obecna pieniądza

r – stopa oprocentowania

m – ilość kapitalizacji w danym roku

n – ilość okresów

Dokładnie ten wzór opisałem w tekście poświęconemu magii procentu składanego, który znajdziecie TUTAJ. Nie wchodząc w szczegóły przejdźmy do obliczeń - załóżmy, że dysponujemy kwotą 1000 złotych.

Gdybyśmy tą sumę wpłacili na fundusz polecany przez panią Mariolę, to po trzech latach oszczędzania uzyskalibyśmy kwotę 1150 zł, gdzie 1000 zł to nasz początkowy kapitał, 150 zł to wypracowane odsetki (1000 zł x 15 proc. = 150 zł).

Teraz druga opcja, czyli lokujemy wspomniany 1000 zł na odnawialnej lokacie bankowej oprocentowanej na 5 proc. w skali roku.

Po pierwszym roku mamy:

1000 zł x 5 proc. = 50 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem mamy 1050 zł

Po drugim:

1050 zł x 5 proc. = 52,50 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem mamy 1102,50 zł

I wreszcie po trzecim:

1102,50 zł x 5 proc. = 55,13 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem mamy 1157,63 zł

Podsumowując po 3 latach oszczędzania na odnawialnej lokacie stan oszczędności wyniesie 1157,63 zł, czyli o 7,63 zł więcej niż w produkcie polecanym przez panią Mariolę.

Dlaczego tak się dzieje?

Wynika to z podstawowych zasad matematyki. Gdy mówimy o procentach pokazujących nasze zyski, to nie wolno ich dzielić, mnożyć, dodawać czy odejmować. Procenty można jedynie potęgować lub pierwiastkować.

Aby dobrze policzyć „prawdziwą” roczną stopę zwrotu należy nieco przemodelować wspomniany już przeze mnie wzór FV = PV * (1 + r/m)^nm.

Ponieważ będziemy liczyć stopę zwrotu wyrażoną w latach i taka też jest częstotliwość kapitalizacji ze wzoru usunę parametr m, który w tym przypadku domyślnie wynosi 1.

Po mojej małej modernizacji wzór wygląda zatem tak FV = PV * (1 + r)^n

Zacznijmy poszukiwania upragnionego "r", czyli stopy oprocentowania wyrażonej w stosunku rocznym. Stosując najprostsze zasady przekształcania wzorów otrzymujemy:

FV/PV = (1 + r)^n

(FV/PV)^1/n = (1 + r)

r = (FV/PV)^1/n - 1

Nadal wygląda nieco skomplikowanie, więc uprośćmy sprawę. W miejsce "(FV/PV)" wstawimy procentową wartość zysku(bądź straty), jaki udało nam się osiągnąć (w naszym przykładzie było to 15 proc. - należy pamiętać o dodaniu „jedynki”, która to odpowiada za nasz początkowy kapitał). W miejsce "n" wpiszemy liczbę lat w czasie których oszczędzaliśmy (w przykładzie były to 3 lata). Dzięki takiemu zabiegowi otrzymamy:

FV/PV = (1+ 15 proc.) = 115 proc.

lub wykorzystując kwotę końcową i początkową (obydwie znamy):  

1150/1000 = 1,15 - czyli 115 proc.

n = 3

Mając już wszystkie dane policzmy "r"

r = (115 proc.)^(1/3) - 1 daje nam wynik 0,04769, czyli nasze "r" wynosi 4,769 proc.

Sprawdźmy teraz czy obliczona powyżej wartość jest prawidłowa podstawiając nowe "r" do wyliczeń z początku tekstu:

Pierwszy rok:

1000 zł x 4,769 proc. = 47,69 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem 1047,69 zł

Drugi rok:

1047,69 zł x 4,769 proc. = 49,96 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem 1097,65 zł

Trzeci rok:

1097,65 zł x 4,769 proc. = 52,35 zł odsetek, czyli z wpłaconym kapitałem 1150 zł – ZGADZA SIĘ.

Jak wynika z powyższych wyliczeń słowa wypowiedziane przez doradcę bankowego (panią Mariolę) wprowadzały mnie w błąd. Zysk na poziomie 15 procent w trzy lata to nie to samo co osiąganie 5 proc. w skali roku przez okres 3 lat. Prawidłowa wartość to 4,769 proc.

Dla zainteresowanych dołączam kalkulator (dostępny TUTAJ), dzięki któremu w prosty sposób szybko sami policzycie średnioroczną, a nawet średnio miesięczną stopę zwrotu. Pola, które należy uzupełnić to tylko zainwestowana kwota, wypłacona kwota oraz liczba miesięcy przez ile trwała Wasza inwestycja. Zachęcam do pobierania :)

I to chyba wszystko co chciałem Wam powiedzieć w tym temacie. Nie zapominajcie jednak, że pułapek w szeroko rozumianych procentach jest o wiele więcej. Dobrym przykładem jest chociażby pytanie:

Jeśli cena jakiegoś dobra spadnie o 10 proc., a potem wzrośnie o 10 proc. - to nowa cena będzie niższa czy wyższa od tej początkowej?

Mam nadzieję, że znacie odpowiedź??? Jeśli NIE, to brzmi ona oczywiście: NIŻSZA - krótki przykład dostępny TUTAJ.

Pozdrawiam Was serdecznie i pamiętajcie nie wierzcie we wszystko co usłyszycie o procentach :) - zwłaszcza od Doradców Bankowych.

Jacek